Closure and Decision Properties for Higher-Dimensional Automata

In this paper we develop the language theory of higher-dimensional automata (HDAs). Regular languages of HDAs are sets of finite interval partially ordered multisets (pomsets) with interfaces (iiPoms). We first show a pumping lemma which allows us to expose a class of non-regular languages. We also give an example of a regular language with unbounded ambiguity. Concerning decision and closure properties, we show that inclusion of regular languages is decidable (hence is emptiness), and that intersections of regular languages are again regular. On the other hand, complements of regular languages are not regular. We introduce a width-bounded complement and show that width-bounded complements of regular languages are again regular

Posets série-parallèles transfinis : automates, logiques et théories équationnelles

We study in this thesis structures extending the classical notion of word. They are built from a partially ordered set (poset) verifying the following properties : — they do not contain 4 distinct elements x, y, z, t whose relative order is exactly x < y, z < y, z < t (posets called N-free) ; — their chains are countable and scattered linear orderings ; — their antichains are finite ; and each element is labeled by a letter of a finite alphabet. Equivalently, the class of posets which we consider is the smallest one built from the empty poset and the singleton, and being closed under sequential and parallel products, and ω product and its backward ordering −ω (series-parallel posets). It is a generalization of both of finite series-parallel labeled posets, by adding infinity, and transfinite words, by weakening the total ordering of the elements to a partial ordering. In computer science, series-parallel posets find their interest in modeling concurrent processes based on fork/join primitives, and transfinite words in the study of recursion. The rational languages of these labeled posets are defined from expressions and equivalent automata introduced by Bedon and Rispal, which generalize thecase of transfinite words (Bruyère and Carton) and the one of finite posets (Lodaya and Weil). In this thesis we study such structures from the logic point of view. In particular, we generalize the Büchi-Elgot-Trakhtenbrot theorem, establishing in the case of finite words the correspondence between the class of rational languages and the one of languages definable in monadic second order logic (MSO). The implemented logic is an extension of MSO by Presburger arithmetic. We focus on some varieties of posets algebras too. We show that the algebra whose universe is the class of transfinite series-parallel posets and whose operations are the sequential and parallel products and the ω and −ω products (resp. powers) is free in the corresponding variety V (resp. V 0). We deduce the freeness of the same algebra without parallel or −ω product. Finally, we showthat the equational theory of V 0 is decidable. These results are, in particular, generalizations of similar results of Bloom and Choffrut on the variety of algebras of words whose length are less than ω!, of Choffrut and Ésik on the variety of algebras of N-free posets whose antichains are finite and whose chains are less than ω! and those of Bloom and Ésik on the variety of algebras of words indexed by countable and scattered linear orderings.Nous étudions dans cette thèse des structures généralisant la notion classique de mot. Elles sont construites à partir d’un ensemble partiellement ordonné (partially ordered set ou poset) vérifiant les propriétés suivantes : — elles ne contiennent pas 4 éléments distincts x, y, z, t dont l’ordre relatif est exactement x < y, z < y, z < t (posets dits sans N) ; — les chaînes sont des ordres linéaires dénombrables et dispersés ; — les antichaînes sont finies ; et chaque élément est étiqueté par une lettre d’un alphabet fini. De manière équivalente, la classe des posets que nous considérons est la plus petite construite à partir du poset vide et du singleton, fermée par les produits séquentiel et parallèle finis, et le produit ω et son renversé −ω (posets série-parallèles). Elle est une généralisation à la fois des posets série-parallèles finis étiquetés, en y ajoutant l’infinitude, et des mots transfinis, en affaiblissant l’ordre total des éléments en ordre partiel. En informatique, les posets série-parallèles finis trouvent leur intérêt dans la modélisation des processus concurrents basés sur les primitives fork/join, et les mots transfinis dans l’étude de la récursivité. Les langages rationnels de ces posets étiquetés sont définis à partir d’expressions et d’automates équivalents introduits par Bedon et Rispal, qui généralisent le cas des mots transfinis (Bruyère et Carton) et celui des posets finis (Lodaya et Weil). Dans cette thèse nous les étudions du point de vue de la logique. Nous généralisons en particulier le théorème de Büchi, Elgot et Trakhtenbrot, établissant pour le cas des langages de mots finis l’égalité entre la classe des langages rationnels et celle des langages définissables en logique monadique du second ordre (MSO). La logique mise en oeuvre est une extension de MSO par de l’arithmétique de Presburger. Nous nous intéressons également à certaines variétés d’algèbres de posets. Nous montrons que l’algèbre dont l’univers est la classe des posets série-parallèles transfinis et dont les opérations sont les produits séquentiel et parallèle finis et les produits (resp. puissances) ω et − ω est libre dans la variété correspondante V (resp. V 0). Nous en déduisons la liberté de la même algèbre sans le produit parallèle ou le produit − ω. Enfin, nous montrons que la théorie équationnelle de V 0 est décidable. Ce sont notamment des généralisations de résultats similaires de Bloom et Choffrut pour la variété d’algèbres de mots de longueur inférieure à ω!, de Choffrut et Ésik pour la variété d’algèbres de posets sans N dont les antichaînes sont finies et les chaînes sont de longueur inférieure à ω! et ceux de Bloom et Ésik pour la variété d’algèbres de mots sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés

Series-parallel posets : automata, logic and equational theories

Nous étudions dans cette thèse des structures généralisant la notion classique de mot. Elles sont construites à partir d’un ensemble partiellement ordonné (partially ordered set ou poset) vérifiant les propriétés suivantes : — elles ne contiennent pas 4 éléments distincts x, y, z, t dont l’ordre relatif est exactement x < y, z < y, z < t (posets dits sans N) ; — les chaînes sont des ordres linéaires dénombrables et dispersés ; — les antichaînes sont finies ; et chaque élément est étiqueté par une lettre d’un alphabet fini. De manière équivalente, la classe des posets que nous considérons est la plus petite construite à partir du poset vide et du singleton, fermée par les produits séquentiel et parallèle finis, et le produit ω et son renversé −ω (posets série-parallèles). Elle est une généralisation à la fois des posets série-parallèles finis étiquetés, en y ajoutant l’infinitude, et des mots transfinis, en affaiblissant l’ordre total des éléments en ordre partiel. En informatique, les posets série-parallèles finis trouvent leur intérêt dans la modélisation des processus concurrents basés sur les primitives fork/join, et les mots transfinis dans l’étude de la récursivité. Les langages rationnels de ces posets étiquetés sont définis à partir d’expressions et d’automates équivalents introduits par Bedon et Rispal, qui généralisent le cas des mots transfinis (Bruyère et Carton) et celui des posets finis (Lodaya et Weil). Dans cette thèse nous les étudions du point de vue de la logique. Nous généralisons en particulier le théorème de Büchi, Elgot et Trakhtenbrot, établissant pour le cas des langages de mots finis l’égalité entre la classe des langages rationnels et celle des langages définissables en logique monadique du second ordre (MSO). La logique mise en oeuvre est une extension de MSO par de l’arithmétique de Presburger. Nous nous intéressons également à certaines variétés d’algèbres de posets. Nous montrons que l’algèbre dont l’univers est la classe des posets série-parallèles transfinis et dont les opérations sont les produits séquentiel et parallèle finis et les produits (resp. puissances) ω et − ω est libre dans la variété correspondante V (resp. V 0). Nous en déduisons la liberté de la même algèbre sans le produit parallèle ou le produit − ω. Enfin, nous montrons que la théorie équationnelle de V 0 est décidable. Ce sont notamment des généralisations de résultats similaires de Bloom et Choffrut pour la variété d’algèbres de mots de longueur inférieure à ω!, de Choffrut et Ésik pour la variété d’algèbres de posets sans N dont les antichaînes sont finies et les chaînes sont de longueur inférieure à ω! et ceux de Bloom et Ésik pour la variété d’algèbres de mots sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés.We study in this thesis structures extending the classical notion of word. They are built from a partially ordered set (poset) verifying the following properties : — they do not contain 4 distinct elements x, y, z, t whose relative order is exactly x < y, z < y, z < t (posets called N-free) ; — their chains are countable and scattered linear orderings ; — their antichains are finite ; and each element is labeled by a letter of a finite alphabet. Equivalently, the class of posets which we consider is the smallest one built from the empty poset and the singleton, and being closed under sequential and parallel products, and ω product and its backward ordering −ω (series-parallel posets). It is a generalization of both of finite series-parallel labeled posets, by adding infinity, and transfinite words, by weakening the total ordering of the elements to a partial ordering. In computer science, series-parallel posets find their interest in modeling concurrent processes based on fork/join primitives, and transfinite words in the study of recursion. The rational languages of these labeled posets are defined from expressions and equivalent automata introduced by Bedon and Rispal, which generalize thecase of transfinite words (Bruyère and Carton) and the one of finite posets (Lodaya and Weil). In this thesis we study such structures from the logic point of view. In particular, we generalize the Büchi-Elgot-Trakhtenbrot theorem, establishing in the case of finite words the correspondence between the class of rational languages and the one of languages definable in monadic second order logic (MSO). The implemented logic is an extension of MSO by Presburger arithmetic. We focus on some varieties of posets algebras too. We show that the algebra whose universe is the class of transfinite series-parallel posets and whose operations are the sequential and parallel products and the ω and −ω products (resp. powers) is free in the corresponding variety V (resp. V 0). We deduce the freeness of the same algebra without parallel or −ω product. Finally, we showthat the equational theory of V 0 is decidable. These results are, in particular, generalizations of similar results of Bloom and Choffrut on the variety of algebras of words whose length are less than ω!, of Choffrut and Ésik on the variety of algebras of N-free posets whose antichains are finite and whose chains are less than ω! and those of Bloom and Ésik on the variety of algebras of words indexed by countable and scattered linear orderings

Logic and Rational Languages of Scattered and Countable Series-Parallel Posets

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